문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 역학 (문단 편집) === 구속력을 고려하는 경우 === 지금까지 다뤘던 라그랑주 역학의 특징은 어려운 구속력을 그냥 무시해 버리고 풀 수 있다는 것이다. 하지만 가끔은 구속력을 무시하면 안 될 때가 있다. 예를 들어 엘리베이터를 설계할 때에는 엘리베이터를 매다는 줄이 어느 정도 장력까지 버틸 수 있는지를 고려해야 하고, 대교를 짓는다면 얼마나 많은 차가 다녀도 하중을 견딜 수 있는지를 계산해야 한다. 그런데 라그랑주 역학이 또 사기적인 것은 구속력도 뉴턴 역학보다 훨씬 쉽게 구할 수 있다는 것이다. 지금까지는 자유도가 [math( s )]인 계는 [math( s )]개의 연립방정식을 풀어서 구했다. 예를 들어 평면 위에서 원운동하는 입자는 자유도가 1이므로 하나의 방정식만 있으면 된다. 하지만 이렇게 해서는 구속력을 구할 수 없다. 따라서 다른 방법을 시도해 봐야 한다. 이는 계를 자유도 2라고 간주하고, 구속 조건을 고려하는 것이다. 즉, "자유도 2개에 의한 오일러 방정식 2개 + 구속조건 식 1개" 이렇게 해서 총 3개의 방정식이 나온다. 그러면 식이 3개니까 미지수도 3개를 풀 수 있다. 구할 수 있는 것은 "일반화 좌표 2개 + 구속력"이다. 이렇게 하면 구속력까지 모두 구할 수 있게 된다. 보통 구속 조건은 일반화 좌표로 [math( f(q_j, \, t) = 0 )]의 꼴로 쓸 수 있다.[* 예를 들어, 반지름이 [math( R )]인 원운동하는 입자는 구속 조건이 [math( x^2 + y^2 = R^2 )]이므로 [math( f = x^2 + y^2 - R^2 = 0 )]로 쓸 수 있다. 또한, 두 물체가 연결된 작은 도르래는 양쪽 줄의 길이를 [math( X, Y )]라 하고 줄의 총 길이를 [math( l )]이라고 하면 [math( X+Y=l )]이므로 [math( f = X + Y - l = 0 )]로 쓸 수 있다.] 그런데 이걸 어떻게 풀 수 있을까? 답은 [[변분법#s-4.2|구속 조건이 있는 오일러 방정식]]에 그대로 나와 있다. 완전히 똑같은 꼴이기 때문이다. 따라서 구속 조건을 [math( f(q_j, \,t)=0 )]이라고 하면 어떤 함수 [math( \lambda (t) )]에 대하여 다음 식이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\partial L \over \partial q_j} - {{\rm d} \over {\rm d}t} {\partial L \over \partial \dot{q}_j} + \lambda (t) {\partial f \over \partial q_j } = 0 )] }}} 구속 조건이 여러 개일 경우 [math( \lambda )]를 여러 개 쓰면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\partial L \over \partial q_j} - {{\rm d} \over {\rm d}t} {\partial L \over \partial \dot{q}_j} + \lambda_1 {\partial f \over \partial q_j } + \lambda_2 {\partial g \over \partial q_j } = 0 )] }}} 마찬가지로 구속 조건이 더 많으면 [math( \lambda )] 항을 계속 늘리면 된다. 이는 오일러-라그랑주 방정식에 그냥 [math( \lambda ({\partial f }/{ \partial q_j }) )]같은 항들 여러 개만 더한 꼴이다. [math( m )]개의 구속 조건이 있을 때 이 항들을 보통 [math( Q_j )]로 써서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Q_j = \sum_{k=1}^{m} { \lambda_k {\partial f_k \over \partial q_j }} )] }}} 로 정의하고, [math( Q_j )]를 '''일반화 구속력''' 또는 '''일반화 힘'''이라고 한다. 이것은 구속력의 그 좌표 방향 성분이며, 단위는 힘이 아닐 수도 있다. 신기하게도, 일반화 구속력은 그 좌표가 어떤 단위인지에 따라 실제 구속력이 나온다. 예를 들어, 극좌표계에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Q_{r} = \lambda {\partial f \over \partial r } )] }}} 이면 구속력 [math( Q_r )]는 [math( r )] 방향의 구속'''력'''이 된다. 그런데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Q_{\theta} = \lambda {\partial f \over \partial \theta } )] }}} 이면 구속력 [math( Q_{\theta} )]는 [math( \theta )] 방향의 구속 '''토크'''가 된다. 즉, 구속력 항을 더한 오일러-라그랑주 방정식들과 구속 조건까지 다 연립해서 풀면 모든 일반화 좌표랑 구속력까지 빠짐없이 구할 수 있다. 이때, 구속력의 부호는 일반화 좌표의 기저 벡터의 방향을 기준으로 정한다. 즉, 양의 값을 가지면 그 기저 벡터와 같은 방향, 음의 값을 가지면 반대 방향인 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기